الرئيسية / علوم وتكنولوجيا / دروس فيديو / رياضيات / الهندسة الإقليديّة والهندسة غيرالإقليديّة

الهندسة الإقليديّة والهندسة غيرالإقليديّة


الهندسة الّتي نتعلّمُها منذ الصِّغر هي هندسة المستوي، وتُدعى فعليًّا بالهندسة الإقليديّة نسبةً إلى عالم الرّياضيات الإغريقيّ إقليدس (330 ق.م).

كتابُ إقليدس "العناصر" كان أوّل نقاشٍ منظّمٍ للهندسة، فعلى الرَّغم من أنَّ العديد من استنتاجات إقليدس كان قد صُرِّح بها من قِبَلِ علماء رياضيات إغريق في وقتٍ سابق، لكن يعود الفضل إليه بتطوير أوّل منظومةٍ استنتاجيّةٍ شاملةٍ، وقد اعتمدَ منهج إقليدس في الهندسةِ على إثبات جميع النّظريّات من خلال عدد منتهٍ من المسلّمات (البديهيّات).

الهندسة الإقليديّة؛ هي دراسةُ الفضاءِ المُسطَّحِ (ثنائي البعد)، ونستطيع بسهولةٍ توضيح هذه المفاهيم الهندسيّة من خلال الرّسم على قطعةٍ من الورق أو على السّبّورة، وفي الفضاء المُسطَّحِ؛ نعلم مفاهيم عديدة كالمفاهيمِ الآتية:

- أقصرُ مسافةٍ بين نقطتين هو طولُ القطعة المستقيمة الوحيدة الّتي تصل بينهما.

- مجموعُ زوايا أيّ مثلّث يساوي 180 درجة.

في كتابه؛ صرَّح إقليدس عن المسلَّمة الخامسة؛ مسلَّمة التّوازي الشّهيرة على النّحوِ الآتي:

إذا قطع خطٌّ مستقيمٌ خطَّين مستقيمَين آخرَين، وكان مجموع الزّوايا الدّاخلية الواقعة على الجهة نفسها من القاطع أقلُّ من مجموعِ زاويَتَين قائمَتَين؛ فإنَّ الخطَّين المستقيمَين في حال تمدَّدا إلى مسافةٍ غير محدّدة سوف يلتقيان على الجهة نفسها الّتي تحوي زاويتين مجموعهما أقلُّ من قائمَتَين.

اليوم؛ نُعرِّف هذه المسلَّمة على النّحو الآتي:

من نقطةٍ ما خارج مستقيم؛ يمرُّ مستقيمٌ وحيدٌ موازٍ لهذا المستقيم.

استمرّت المفاهيم في الهندسة الإقليديّة دون منازعٍ حتّى بدايات القرن التّاسع عشر، وفي ذلك الوقت؛ بدأت أشكالٌ أخرى من الهندسة في الظّهور، وتدعى بالهندسات غير الإقليديّة، ولم يعد بعد ذلك يُفترض أن هندسة إقليدس من الممكن أن تُستَخدم لوصف الحيِّزِ الماديِّ كلّه.

الهندسات غير الإقليديّة: هي أيُّ هندسة تحتوي على مسلَّمة تنفي مسلَّمة التّوازي الإقليديّة.

يوجد نوعان من الهندسة غير الإقليديّة في الفضاء ثلاثي الأبعاد (وثنائي الأبعاد)، وهما "الهندسة الكرويّة" و "الهندسة القطعيّة".



الهندسة الكرويّة: تُدعى بالهندسة الإهليلجيّة أو هندسة ريمان أيضًا، وهي هندسة غير إقليديّة تَستخدم عوضًا عن مُسلّمة التّوازي المُسلّمةَ الآتية أو ما يكافئها:

إذا كان L خطًّا ما، و P نقطة ما خارجه، فإنّه لا يوجد أيُّ خطٍ يمرُّ من P ويوازي L.

الهندسة الكرويّة هي هندسةٌ لدراسةِ السُّطوح المنحنية؛ فكِّر في ما قد يحدث في حال عملتَ على سطحٍ منحنٍ -كالكرة مثلاً- بدلًا من العمل على قطعةِ الورق الإقليديّة المُسطَّحة.

دراسةُ هذه الهندسة لها اتّصالٌ مباشرٌ بوجودنا اليوميِّ نظرًا لكوننا نعيش على سطحٍ منحنٍ يُدعى بكوكبِ الأرض.



ما التّأثير الذي يحمله العملُ على كرة في ما نعتقده حقائقَ هندسيّة؟

في فضاءٍ منحنٍ؛ مجموعُ زوايا أيّ مثلّث هي دومًا أكبر من 180 درجة.

على سطح كرة؛ لا يوجد خطوط مستقيمة، فجميع المستقيمات تنحني مع الفضاء (سطح الكرة).

في الفضاء المنحني؛ أقصر مسافة بين أيِّ نقطتين ليست وحيدة. على سبيل المثال؛ هناك العديد من الخطوط بين القطبين الشمالي والجنوبي (خطوط الطّول) التي ليست متوازية نظراً لأنها تتقاطع عند القطبين ولكنها جميعاً تمثِّل أقصرَ طريقٍ بين القطبين.

الهندسة القطعيّة: وَتُدعى أيضاً بالهندسة السّرجيّة أو هندسة لوباتشفسكي، وهي هندسة غير إقليديّة تُستخدم عوضًا عن مُسلَّمة التّوازي المُسلَّمة الآتية أو ما يكافئها:

إذا كان L خطاً ما، و P نقطة ما خارجه؛ فإنه يوجد خطان يمران من P ويوازيان L.

الهندسة القطعيّة هي مجال دراسة الفضاءات سرجيّة الشكل؛ فكر في ما قد يحدث في حال عملت على فضاءٍ منحنٍ يشبه شكل السّطح الخارجيِّ لسرجٍ أو على شكل رقاقة بطاطس برينغلز بدلًا من العمل على قطعةِ الورق الإقليديّةِ المُسطَّحة!



على عكس الهندسة الكرويّة؛ من الصّعب رؤية تطبيقاتٍ عمليّةٍ للهندسة القطعيّة، وعلى الرّغم من ذلك؛ فإنّ الهندسة القطعيّة تملك تطبيقات في بعض مجالات العلوم مثل السّفر عبر الزمن وعلم الفضاء، وقد صرّحَ أينشتاين بأنَّ الفضاء منحنٍ، ونظريّته النّسبيّة العامة تستخدم الهندسة القطعيّة.

ما التّأثير الذي يحمله العمل على سطحٍ قطعيٍّ في ما نعتقده من حقائقَ هندسيّة؟

في الهندسة القطعيّة؛ مجموع زوايا أي مثلّث أقلّ من 180 درجة.

في الهندسة القطعيّة؛ المثلّثات متساوية الزّوايا (بغضِّ النَّظر عن أطوال أضلاعها) لها نفس المساحة.

لا يوجد مثلّثات متشابهة في الهندسة القطعيّة.

فكرةُ "التّمرد" على الهندسة الإقليديّة ومحاولة اكتشاف أنواعٍ أخرى من الهندسات آتت ثمارها، وهذه ليست المرّة الوحيدة الّتي يتمرّدُ فيها الرّياضيون على المفاهيم التقليديّة الشّائعة لاستنتاج أمورٍ أخرى قد لا تبدو منطقيّة، ولكن؛ أليست الرّياضيات حقًّا ثورة فكريّة نتعلم منها الكثير؟؟

المصدر:

هنا

* ترجمة: : Rasha Nasri
* تدقيق علمي: : Qusai Alothman
* تعديل الصورة: : ليث رستناوي
* نشر: : Lina Bany Almarjeh
* تعديل الصورة: : Fares Arnous
* تدقيق لغوي: : Maissaa Markabi
* تدقيق لغوي: : Dima Yazji

عن عبداللطيف ابوشمس

شاهد أيضاً

علِّموا بناتكم الرياضيات

مهم للأبَوَين الراغبَين في تشجيع بناتهن على الموضوعات العلمية المتقدمة أن يأخذوا الرياضيات في الحسبان، فهي العلم الذي لا غنى عنه.فربما تستمتع بصنع بركان من الورق مع ابنتك، أو غيرها من الأنشطة الفيزيائية؛ لكنَّ الطريقة الوحيدة لتعليم ابنتك المواد العلمية المتقدمة على النحو الصحيح، هي بناء أساس قوي في مادة الرياضيات؛ لأنها لغة العلوم والهندسة والتكنولوجيا وتُكتَسب بالممارسة المعمَّقة والمطوَّلة.وهو أمرٌ معقَّدٌ لدى الفتيات أكثر منه لدى الفتيان؛ لأنَّ ميلَ الفتيات إلى اللغة وتميُّزهنَّ بها قد يبعدهنَّ عن الرياضيات، إذ أظهرت الكثير من الدراسات أن للفتيان والفتيات متوسطَ قدرات متماثلاً في الرياضيات، لكنَّ للفتيات قدرات إضافية في الكتابة والقراءة، وغالباً ما يبرعنَ بها أكثر من الرياضيات، فما النتيجة؟سيظن الفتى الصغير أنه أفضل في الرياضيات من العلوم اللغوية، في حين أن الفتاة تظنُّ أنها أفضل في اللغات من الرياضيات، وبوصفها نتيجة طبيعة عندما تجلس ابنتك لحل المسائل الرياضية، ستقول: "أنا لستُ جيدةً بهذا"، لكنها في الحقيقة جيدة في الرياضيات كأي فتى في عمرها، وكل ما في الأمر أنها أفضل في اللغات!من الصعب بالطبع معرفة ما يدور في أذهان الأطفال، لكن الدراسات كشفت اختلافات في تطور قدرات الفتيات والفتيان اللفظية، إلى جانب التشابه في نمو قدراتهم في الرياضيات.هذا وقد أظهرت دراسات أخرى أن نظرة الفتيات لأنفسهنَّ تؤثر في أدائهنَّ الأكاديمي، وهذا يحدث فعلاً.ثم إن اعتقادنا أننا سيئون بشيءٍ ما سيأخذنا إلى الطريق السريع لكرهه، وبالطبع سنتجنبه حتى لو كنا نتمتع بالموهبة الطبيعية؛ لأنَّ عقلنا سيجد الأمر مؤلماً أكثر من تعلم شيءٍ جديد قد يكون أسهل.ثم إن قلة الممارسة ستسبب نقصاً حقيقياً في الكفاءة، وطريقة التدريس الحالية تؤكد على الفهم النظري، وتقلل من التدريب الذي يجعل تعلم الرياضيات أسوأ لدى الفتيات.من المهم أن تدرك أن دراسة الرياضيات تشبه العزف على الآلة الموسيقية، والآلة هي جهازك العصبي الداخلي، كآلة الغيتار على سبيل المثال، عليك تعلُّم بُنيَة الأوتار والتدريب عليها حتى تصبح قادراً على العزف على نحوٍ صحيح، وهذا ما يؤكده جميع المدرِّسين الموسيقيين؛ فالممارسة أسس الأنماط وهي طريق الإبداع.لجملة (الحفظ عن ظهر قلب) سمعةٌ سيئةٌ في العصر الحديث، لكنها تعني في الحقيقة الممارسة التلقائية التي تركز على ما سيأتي قادماً، والذي سيكون أصعب لدى المتعلم.يبدأ الإبداع بعد أن تصبح الأنماط التأسيسية متأصِّلة، وذلك ينطبق على كل العلوم ومنها الرياضيات، فكما يقول الباحث K. Anders Ericsson "عليك تطوير أنماط عصبية تُكتسب بعد الكثير من الممارسة والتكرار لتصبح خبيراً بأي شيء".الفهم جزء من اكتساب الخبرة، لكنه بالتأكيد ليس كل شيء، ومفهوم اليوم لتعلم الرياضيات -الذي يجمع بين جهود جعل المادة ممتعة دون الكثير من التمارين والتدريب- يخنق عملية غرس الأنماط العصبية الأساسية لدى الأطفال ليكونوا ناجحين رياضياً، وقد تكون الفتيات أكثر تأثرا.ستستفيد الفتيات على نحوٍ خاص من التمارين الإضافية التي ستكسر حلقة كراهية الرياضيات، وتبني شعور الثقة لديهم، وحتى لو قررت الفتاة اختيار مهنة غير علمية، فإن عالم اليوم يحتاج المهارات العلمية دائما.ليس على التعليم أن يكون ممتعاً، ولا ينبغي أن يكون ممتعاً ولذلك يتعلم الأطفال أساسيات النوت الموسيقية، ويتدربون على الغيتار بدلاً من العزف بغيتار خيالي؛ ولهذا يتدربون على الرقص، ولعب كرة القدم، والكلمات الجديدة عندما يتعلمون لغة جديدة، وفي الحقيقة فمحاولتنا جعل العلم أكثر متعة تضرُّ بقدرات الأطفال على التعامل مع الموضوعات الصعبة وتعلمها، وكما أوضح روبرت بيورك وهو عالم نفسي بارز: (ينطوي التعلم العميق على صعوبات مرغوبة)، ويتطلب التعلم ممارسةً مُجدِية وخاصَّة في المراحل الأولى، فالممارسة تسمح للأنماط العصبية بأخذ شكلها.وفي النهاية سأعطيك نصيحتي، كنتُ طفلةً تكره الرياضيات، واليوم أنا أستاذة في الهندسة، أعطِ طفلتك تمارين رياضية إضافية كل يوم، حتى لو وجدت ذلك مزعجاً، لكنها ستشكرك على المدى الطويل

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *